روش ساده اویلر، می تواند با جایگزینی اختلاف فضای پیش رو با اختلاف فضای رو پس رو، به شرط مثبت بودن سرعت موج c پایدار شود. اگر سرعت موج منفی باشد، برای اطمینان از پایداری باید از اختلاف پیش رو استفاده شود. برای سرعت موج مثبت، الگوریتم زیر نتیجه می دهد:
این یک روش دقیق مرتبه اول با T.E. از O[Δt، Δx] است. تجزیه و تحلیل پایداری فون نیومن نشان می دهد که این روش پایدار است، به شرطی که عدد کورانت بزرگتر مساوری صفر و کوچکتر مساوی یک باشد.
که ν = C.F.L = cΔt / Δx
با استفاده از بسط سری تیلور و جایگذاری در معادله بالا خواهیم داشت:
که به صورت زیر ساده می شود:
توجه داشته باشید که سمت چپ این معادله مربوط به معادله موج و سمت راست آن T.E است که به طور کلی صفر نیست. اهمیت ترم ها در T.E. اگر ترم های مشتق شده زمان با مشتقات فضایی جایگزین شوند، می توانند راحت تر تفسیر شوند. برای جایگزین کردن utt با یک ترم فضایی، مشتق جزئی معادله بالا را با توجه به زمان بدست می آوریم.
و مشتق جزئی معادله ذکر شده را با توجه به x گرفته و در c- ضرب می کنیم:
دو معادله قبلی را با هم جمع می کنیم و داریم.
به روشی مشابه می توانیم عبارات زیر را برای uttt ، uttx و uxxt بدست آوریم:
با ترکیب معادلات داریم:
به یک معادله مانند معادله بالا معادله اصلاح شده گفته می شود (Warming and Hyett، 1974). می توان به عنوان PDE تصور کرد که در واقع حل شده است (اگر شرایط مرزی کافی وجود داشته باشد). هنگامی که یک روش اختلاف محدود برای PDE اعمال می شود، تأکید بر این نکته مهم است که باید از معادله به دست آمده پس از جایگزینی گسترشهای سری تیلور، استفاده شود تا مشتقات مرتبه بالاتر را به جای PDE اصلی ، معادله 4.2 حذف کنید. این به این دلیل است که یک راه حل از PDE اصلی ، به طور کلی ، معادله اختلاف را برآورده نمی کند ، و از آنجا که معادله اصلاح شده نشان دهنده معادله اختلاف است ، بدیهی است که از PDE اصلی برای حذف مشتقات زمان استفاده نمی شود
دیدگاه‌ها (0)